1892年， Boussinesq求解了如圖6.2所示的半無限體內(nèi)的徑向應(yīng)力分布，他用的是極坐標(biāo)而不是直角坐標(biāo)。在表面沒有切應(yīng)力的邊界條件下，徑向應(yīng)力的解為
2fcos0r
Tr
從式(6.16)可以看出，當(dāng)r趨近于0時(shí)，O，將變?yōu)闊o窮大。顯然這種情況是不可能存在的，因?yàn)榇藭r(shí)表面材料將產(chǎn)生嚴(yán)重的屈服或失效。Hrx對此的解釋是，一定會形成一個(gè)小的接觸區(qū)域以取代點(diǎn)或線接觸，載荷將分到整個(gè)接觸面上，從面緩解了無窮大應(yīng)力的狀況。Hea在分析中提出了如下的假設(shè)1)所有的變形都在彈性范圍之內(nèi)，沒有超過材料的比例極限。2)載荷垂直于表面，忽略表面切應(yīng)力的影啊3)與受載物體的曲率半徑相比，接觸區(qū)域的尺す很小4)與接觸區(qū)域的尺す相比，接觸區(qū)域的曲率半徑很大彈性理論問題的解是以假設(shè)的應(yīng)力函數(shù)為基礎(chǔ)的，這些應(yīng)力函數(shù)必須單獨(dú)或是組合地滿圖6.2 Boussinesq分析模型足相容方程和邊界條件。對于半無限彈性體的應(yīng)力分布， Hert采用的假設(shè)是
Ya
h
Ya
(6.17)
式中b是任意固定長度，X，Y和Z是量網(wǎng)為1的參數(shù)。設(shè):
u al al
ax ax
p ol al
(6,18)
ay a
w al ob
7+1
式中c是任意長度，以使/e、w/e和/e量為1。和V是X和Y的任意函數(shù)，但要滿足
VU=0
V V=0
(6.19)
b和c與D的關(guān)系為
a U
(6.20)
C
az
這些假設(shè)部分來自直覺，部分來自經(jīng)驗(yàn)，將它們與彈性關(guān)系相結(jié)合(式(6.7)、式(6.10)和
式(612)至式(6，14)，得
o.av ou s av
az
L sz
y ar az