1892年，Bumq求解了如圖62所示的半無限體內(nèi)的徑向應(yīng)力分布，他用的是數(shù)坐標(biāo)而不是直角坐標(biāo)。在表面沒有切應(yīng)力的邊界條件下，徑向應(yīng)力的解為2fcos6o
TTR
從式)可以看出，當(dāng)r趨近于0時(shí)，，將變?yōu)闊o窮大。顯然這種情況是不可能存在的，因?yàn)榇藭r(shí)表面材料將產(chǎn)生嚴(yán)重的屈服或失效。Hertz對(duì)此的解釋是，一定會(huì)形成一個(gè)小的接觸區(qū)域以取代點(diǎn)或線接觸，載荷將分到z:整個(gè)接觸面上，從而緩解了無窮大應(yīng)力的狀況。Ht在分析中提出了如下的假設(shè):1)所有的變形都在彈性范圍之內(nèi)，沒有超過材料的比例極限。2)載荷垂直于表面，忽略表面切應(yīng)力的影響3)與受載物體的曲率半徑相比，接觸區(qū)域的尺寸很小4)與接觸區(qū)域的尺す相比，接觸區(qū)域的曲率半徑很大。X彈性理論問題的解是以假設(shè)的應(yīng)力函數(shù)為基礎(chǔ)的這些應(yīng)力函數(shù)必須單獨(dú)或是組合地滿圖6.2 Boussinesq分析模型足相容方程和邊界條件。對(duì)于半無限彈性體的應(yīng)力分布， Hertz采用的假設(shè)是
Y=
Y=
(6.17)
Zs
式中b是任意固定長(zhǎng)度，X，y和Z是量綱為1的參數(shù)。設(shè):
au av
r ax
o au
(618)
Z
we au,a
式中c是任意長(zhǎng)度，以使e、v/c和w/e量綱為1。U和V是X和y的任意函數(shù)，但要滿足
U=0
6.19)
y=0
和c與U的關(guān)系為
(6.20)
be
這些假設(shè)部分來自直覺，部分來自經(jīng)驗(yàn)，將它們與彈性關(guān)系相結(jié)合(式(6.7)、式(610)和
az
式(612)至式(6.14)，得
a v ou
az
ava2Uっ
Z
az

z:
o
Z
a
z az
av au
aray arar
(6.21
av
Z
axa
ayaz
式中
(-2C)/b;U=(1-2)WU(X,Y,)
從以上的公式，可以確定以x平面為界面的半無限體內(nèi)的應(yīng)力和變形，在:＝0的界面上應(yīng)
滿足r
=T,
0，而o，為有限值
Hetz最后假定變形后的表面形狀是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢圓面，此時(shí)函數(shù)V可表示為:
y Z
V s
+S1+
(6.2)
式中，S。是下面方程最大的正根
x2+S1+S2s8
(6.23)
而
(6.24)
這里a和b是接觸區(qū)域投影橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸。
對(duì)于橢圓接觸區(qū)域，其幾何中心的應(yīng)力為
30
O
mab
(6.25
任意長(zhǎng)度c被定義為
30
C
6.26)
對(duì)于x＝的特殊情況
20
0
T
(6
C
?
G
(628)
由于假定接觸面相對(duì)于物體的尺す來說是很小的，則接觸體之間的距離可以表示為
式中，，和r，是主曲率半徑。
2r.2r